十进制转化为二进制的方法我知道,但是有没有人知道它的原理是什么?也就是有没有人能够证明它的正确性?.十进制数与非十进制数之间的转换(1)十进制数转换成非十进制数把一个十进制数

Question

十进制转化为二进制的方法我知道,但是有没有人知道它的原理是什么?也就是有没有人能够证明它的正确性?
.十进制数与非十进制数之间的转换
(1)十进制数转换成非十进制数
把一个十进制数转换成非十进制数（基数记作R）分成两步.整数部分转换时采用“除R取余法”；小数部分转换时采用“乘R取整法”.
(2)非十进制数转换成十进制数
非十进制数(基数记作R,第j个数位的位权记作Rj)转换成十进制数的方法：按权展开求其和.
也就是“除R取余法”、“乘R取整法”和“按权展开求和法”的证明.
最好能够通俗一点的.
主要是乘R取整法的证明

Answer 1

你想一下10进制是怎样的?
1234是不是等于1*10^3+2*10^2+3*10^1+4*10^0
类比下
二进制的101是不是1*2^2+0*2^1+1*2^0
也就是说10进制的5里面包含一个4和一个1,转为2进制就是101,
这是2进制转10进制的思想,
而且你有没有注意到,一个2进制数去掉最低位得到的数一定是偶数?
也就是一个n位的二进制数x=an……a3a2a1,满足x=2*(an……a2)+a1
类似10进制中1234=123*10+4
那么给出一个10进制的数11吧
11/2=5.1,这里余数1就是转化的2进制数的最低位,因为除了最低位之外的都可以被2除,也就是11=5*2+1
好,继续
5=2*2+1
2=1*2+0
1=0*2+1
所以11化为2进制就是1011
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乘R取整法用于小数部分,原理和除R取余是一样的
比如一个十进制小数X化为二进制是0.abc,是不是可以表示成a*2^-1+b*2^-2+c*2^-3
那么2x也相当于0.abc*2=a*2^0+b*2^-1+c*2^-2,你看小数点后第一位的a是不是提到整数部分来了,取整也就是获得a的值,接下去同理