如图,建立平面直角坐标系XOY,X轴在地平面上,Y轴垂直于地面,单位长度为1km,某炮位于坐标原点,已知炮弹发射后的轨迹方程Y=kx—x^2(1+k^2)/20(k>0)表情的曲线上,其中k与发射方向有关,炮的

Question

如图,建立平面直角坐标系X O Y ,X 轴在地平面上,Y 轴垂直于地面,单位长度为1km,某炮位于坐标原点,已知炮弹发射后的轨迹方程Y =k x —x ^2(1+k ^2)/20(k >0)表情的曲线上,其中k 与发射方向有关,炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.（1）求炮的最大射程（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小）,其飞行高度为3.2km,试问它的横坐标a 不超过多少时,炮弹可以击中它,请说明理由.

Answer 1

（1）在 y=kx-(1/20)(1+k^2)(x^2) (k＞0)中,令y=0,得kx-(1/20)(1+k^2)(x^2)=0,
由实际意义和题设条件知x＞0,k＞0．
∴x=20k/（1+k²）=20/（1/k+k）≤20/2=10,当且仅当k=1时取等号．
∴炮的最大射程是10千米．
（2）∵a＞0,∴炮弹可以击中目标等价于存在 k＞0,使ka-1/20（1+k2）a2=3.2成立,
即关于 的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根．
由△=400a2-4a2（a2+64）≥0得a≤6．
此时,k=（20a±根号△）/2a²＞0（不考虑另一根）．
∴当a不超过6千米时,炮弹可以击中目标．