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如图,建立平面直角坐标系XOY,X轴在地平面上,Y轴垂直于地面,单位长度为1km,某炮位于坐标原点,已知炮弹发射后的轨迹方程Y=kx—x^2(1+k^2)/20(k>0)表情的曲线上,其中k与发射方向有关,炮的

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如图,建立平面直角坐标系X O Y ,X 轴在地平面上,Y 轴垂直于地面,单位长度为1km,某炮位于坐标原点,已知炮弹发射后的轨迹方程Y =k x —x ^2(1+k ^2)/20(k >0)表情的曲线上,其中k 与发射方向有关,炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2km,试问它的横坐标a 不超过多少时,炮弹可以击中它,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)在 y=kx-(1/20)(1+k^2)(x^2) (k>0)中,令y=0,得kx-(1/20)(1+k^2)(x^2)=0,
由实际意义和题设条件知x>0,k>0.
∴x=20k/(1+k²)=20/(1/k+k)≤20/2=10,当且仅当k=1时取等号.
∴炮的最大射程是10千米.
(2)∵a>0,∴炮弹可以击中目标等价于存在 k>0,使ka-1/20(1+k2)a2=3.2成立,
即关于 的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根.
由△=400a2-4a2(a2+64)≥0得a≤6.
此时,k=(20a±根号△)/2a²>0(不考虑另一根).
∴当a不超过6千米时,炮弹可以击中目标.