已知一个数列的各项是1或2,首项为1,且在第k个1和第k+1个1之间有2^k个2,即1,2,1,22,1,2222,1,22222222…1求S2008

Question

已知一个数列的各项是1或2,首项为1,且在第k个1和第k+1个1之间有2^k个2,即1,2,1,22,1,2222,1,22222222…1
求S2008

Answer 1

首先更正一下,如果根据你题目意思：“已知一个数列的各项是1或2,首项为1,且在第k个1和第k+1个1之间有2^k个2.”的意思,数列应为：
1,2,2,1,2,2,2,2,1,2,2,2,2,2,2,2,2,1……
那么假设到第k个1那一项时,数列中有：2+2^2+2^3+2^4+……+2^（k-1）个2
即：2+2^2+2^3+2^4+……+2^（k-1）=2×（1-2^（k-1））/（1-2）=2^k-2 个2
所以到第k个1时共有2^k-2+k 项.
根据试差法有：k=10时,2^k-2+k=1034 项2008 项
所以,2008项为第10个1后的第974个2那一项（检验：2^10=1024>974,存在这样的第74个2）
所以S2008=1×10+2×（2^10-2+974）=4006