定义区间，，，的长度均为，其中．（1）求关于的不等式的解集构成的区间的长度；（2）若关于的不等式的解集构成的区间的长度为，求实数的值；（3）已知关于的

Question

定义区间 ， ， ， 的长度均为 ，其中 ．
（1）求关于 的不等式 的解集构成的区间的长度；
（2）若关于 的不等式 的解集构成的区间的长度为 ，求实数 的值；
（3）已知关于 的不等式 ， 的解集构成的各区间的长度和超过 ，求实数 的取值范围．

Answer 1

定义区间 ， ， ， 的长度均为 ，其中 ．
（1）求关于 的不等式 的解集构成的区间的长度；
（2）若关于 的不等式 的解集构成的区间的长度为 ，求实数 的值；
（3）已知关于 的不等式 ， 的解集构成的各区间的长度和超过 ，求实数 的取值范围．

（1）区间的长度是 .
（2） （ 舍）.
（3）实数 的取值范围是 .

试题分析：（1）不等式 的解是
所以区间的长度是   3分
（2）
当 时，不符合题意  4分
当 时， 的两根设为 ，且
结合韦达定理知 
解得 （ 舍）  7分
（3）
=
设 ，原不等式等价于 ，   9分
因为函数 的最小正周期是 ， 长度恰为函数的一个正周期
所以 时， ， 的解集构成的各区间的长度和超过
即实数 的取值范围是   12分
点评：难题，指数不等式，常常化为同底数指数幂的不等关系或利用“换元法”，加以转化。三角函数不等式问题，通常利用三角公式进行化简，结合三角函数的图象和性质，加以处理，本题较难。