设f（x）在[0，1]二阶可导，且|f（x）|≤a，|f″（x）|≤b，其中，a，b为非负常数，求证：对任意c∈（0，1），都有|f′（c）|≤2a+12b．

Question

设f（x）在[0，1]二阶可导，且|f（x）|≤a，|f″（x）|≤b，其中，a，b为非负常数，求证：对任意c∈（0，1），都有|f′（c）|≤2a+(1)/(2)b．

Answer 1

∀x∈[0，1]，∀c∈（0，1），利用泰勒公式将f（x）在x₀=c展开可得：
f（x）=f（c）+f′（c）（x-c）+(1)/(2)f″(ξ)(ξ−c)2，ξ在x与c之间．
x=0时，f（0）=f（c）+f′（c）（-c）+(1)/(2)f″(ξ1)c2，ξ₁∈（0，c）．
x=1时，f（1）=f（c）+f′（c）（1-c）+(1)/(2)f″(ξ2)（1-c）²，ξ₂∈（c，1）．
从而，
f（1）-f（0）=f′（c）+(1)/(2)[f″(ξ2)(1−c)2−f″(ξ1)c2]，
故f′（c）=f（1）-f（0）+(1)/(2)[f″(ξ2)(1−c)2−f″(ξ1)c2]．
取绝对值，放大可得：
|f′（c）|≤|f（1）|+|f（0）|+(1)/(2)[|f″(ξ2)|(1−c)2+|f″(ξ1)|c2]
≤2a+(b)/(2)[(1−c)2+c2]
≤2a+(b)/(2)[(1−c)+c]
=2a+(b)/(2)．