如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中顶点E，F，G分别在AB，BC，FD上．（1）求证：△EBF∽△FCD；（2）连接DH，如果BC=12，BF=3，求tan∠HDG的值．

Question

如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中顶点E，F，G分别在AB，BC，FD上．

（1）求证：△EBF∽△FCD；
（2）连接DH，如果BC=12，BF=3，求tan∠HDG的值．

Answer 1

（1）证明：∵在正方形ABCD，正方形EFGH中，∠B=∠C=90°，∠EFG=90°，
∴BC=CD，GH=EF=FG．
又∵点F在BC上，点G在FD上，
∴∠DFC+∠EFB=90°，∠DFC+∠FDC=90°，
∴∠EFB=∠FDC，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△EBF∽△FCD；

（2） ∵BF=3，BC=CD=12，
∴CF=9，DF=√(CF2+CD2)=√(92+122)=15，
∵△EBF∽△FCD，
∴(BE)/(BF)=(CF)/(CD)，
∴BE=(BF•CF)/(CD)=(3×9)/(12)=(9)/(4)，
∴GH=FG=EF=√(BE2+BF2)=(15)/(4)，
∴DG=DF-FG=15-(15)/(4)=(45)/(4)，
∴tan∠HDG=(GH)/(DG)=((15)/(4))/((45)/(4))=(1)/(3)．