在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,且△ABC≌△DEF,将△DEF与△ABC重合在一起,△ABC不动,△DEF运动,并满足：点E在边BC上沿B到C的方向移动,且DE始终经过点A,EF与M点（1）求证：△ABE∽△ECM（2）探究：在△DEF运动

Question

在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,且△ABC≌△DEF,将△DEF与△ABC重合在一起,△ABC不动,△DEF运动,并满足：点E在边BC上沿B到C的方向移动,且DE始终经过点A,EF与M点
（1）求证：△ABE∽△ECM
（2）探究：在△DEF运动过程中,重叠部分能否构成等腰三角形?若能,求出BE的长；若不能,请说明理由；
（3）当线段am最短时,求重叠部分的面积.

Answer 1

因为AB=AC且△ABC≌△DEF
所以∠B=∠C=∠DEF=∠F
因为∠AEB=∠EAC+∠C,∠EMC=∠EAC+∠AEF
所以∠AEB=∠EMC
因为∠ B=∠C
所以△ABE∽△ECM
重叠部分是△AEM
当EM=AM时,△AEM是等腰三角形
因为∠CAE=∠DEF=∠C
所以AE=CE
所以等腰三角形AEC∽等腰三角形CAB
所以AE:AC=AC:BC
因为AC=5,BC=6
所以AE=25/6
因为CE=AE=25/6
所以BE=6-25/6=11/6
当AE⊥BC时,
因为∠C+∠CAE=90°,∠C=∠AEF
所以∠AEF+∠CAE=90°
所以EF⊥AC
此时,AE最短,AM也最短
因为AB=AC,AE⊥BC
所以BE=CE=BC/2=3
因为AB=AC=5
所以AE=4
因为△AEM∽△ACE
所以EM=12/5,AM=16/5
所以重叠部分面积=12/5×16/5×1/2=96/25