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如图1,矩形ABCD中,AB=10,BC=8,E是AB边上一点,过E作EF⊥CE,交AD于点F.(1)求证:△EFA∽△CEB;(2)如果AE=6,求AF的长;(3)在(2)条件下,以A为原点,AB为x轴,AD为y轴建立坐标系,如

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如图1,矩形ABCD中,AB=10,BC=8,E是AB边上一点,过E作EF⊥CE,交AD于点F.
(1)求证:△EFA∽△CEB;
(2)如果AE=6,求AF的长;
(3)在(2)条件下,以A为原点,AB为x轴,AD为y轴建立坐标系,如图2,连接CF,问在y轴上是否存在点P,使以A、B、P为顶点的三角形与△CEF相似?如果存在,写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵已知矩形ABCD和EF⊥CE,
∴∠A=∠B=90°,∠CEF=90°,
∴∠BEC+∠AEF=∠AFE+∠AEF=90°,
∴∠BEC=∠AFE,
∴△EFA∽△CEB;

(2)已知AE=6,AB=10,BC=8,
∴BE=4,
∵△EFA∽△CEB,
AF
BE
=
AE
BC

AF
4
=
6
8

∴AF=3;

(3)存在点P,使以A、B、P为顶点的三角形与△CEF相似,
因为由(1)得出∠PAB=∠FEC=90°,
在直角三角形AFE 和EBC中由勾股定理得:
FE=
AF2+AE2
=
32+62
=3
5

EC=
BE2+BC2
=
42+82
=4
5

①若△BAP∽△CEF,得:
BA
CE
=
AP
EF

10
4
5
=
AP
3
5

∴PA=7.5,
所以点P的坐标为:(0,±7.5).
②若△PAB∽△CEF,得:
PA
CE
=
AB
EF

PA
4
5
=
10
3
5

∴PA=
40
3

所以点P坐标为(0,±
40
3
).
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