如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=5，BD=10，平行四边形ABCD的面积为24．将△COD绕点D按逆时针方向旋转得到△C1OD1，连接AC1、BD1．（1）求证：△AOC1∽△BOD1；（2）当△COD

Question

如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=5，BD=10，平行四边形ABCD的面积为24．将△COD绕点D按逆时针方向旋转得到△C₁O D₁，连接AC₁、BD₁．

（1）求证：△AOC₁∽△BOD₁；
（2）当△COD旋转至OD₁与点A重合时，求△AOC₁的面积．
（3）如图3，连接DD₁．
①则△BDD₁的面积的最大值为___．（直接填空）
②当旋转至点C₁与点B之间的距离最大时，求此时BD₁的长．

Answer 1

（1）证明：如图1中，

∵∠COC₁=∠DOD₁，
∴∠AOC₁=∠BOD₁，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=OC₁，OB=OD=OD₁，
∴(OC1)/(OD1)=(OA)/(OB)，
∴△AOC₁∽△BOD₁；

（2） 如图2中，作C₁H⊥AC于H．

∵S△D1OC1=(1)/(4)×24=(1)/(2)×OD₁×C₁H，
∴C₁H=(12)/(5)，
∴S△AOC1=(1)/(2)•OA•C₁H=(1)/(2)×(5)/(2)×(12)/(5)=3．

（3）①如图3中，当OD₁⊥BD时，△BDD₁的面积最大．最大值=(1)/(2)•BD•OD₁=(1)/(2)×10×5=25．

故答案为25．

②如图4中，作D₁H⊥BD于H．

∵(1)/(2)•OC₁•D₁H=(1)/(4)×24，
∴D₁H=(24)/(5)，
在Rt△OD₁H中，OH=√(OD21-D1H2)=(7)/(5)，
∴BH=OB-OH=(18)/(5)，
在Rt△BHD₁中，BD₁=√(D1H2+BH2)=6．