如图，在正方形ABCD中，边长为4，E是AD边的中点，连接BE，作EG⊥BE交CD于点F，交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）求DF的长；（3）求△BEG的面积．

Question

如图，在正方形ABCD中，边长为4，E是AD边的中点，连接BE，作EG⊥BE交CD于点F，交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）求DF的长；
（3）求△BEG的面积．

Answer 1

（1）证明：∵正方形ABCD中∠A=∠D=90°，EG⊥BE，
∴∠AEB+∠DEF=90°，
∵∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠DEF=∠ABE，
∴△ABE∽△DEF；


（2）∵△ABE∽△DEF，E是AD边的中点，

∴DE=(1)/(2)AD=2，
∴DF：AE=DE：AB，即DF：2=2：4，
解得DF=1；


（3）∵正方形ABCD中∠DCG=∠D=90°，∠EFD=∠CFG，
∴△CGF∽△DEF，
∴DF：FC=DE：CG，即1：3=2：CG，CG=6，
∴BG=4+6=10，
∴S_△BEG=(1)/(2)BG•AB=20．