将正十三边形的每一个顶点染成黑色或红色,每个顶点染一色,证明：存在三个同色的点,刚好成为一个等腰三角形的顶点.

Question

将正十三边形的每一个顶点染成黑色或红色,每个顶点染一色,证明：存在三个同色的点,刚好成为一个等腰三角形的顶点.

Answer 1

首先13个点2-染色, 一定存在7个点同色.
考虑这7个顶点两两之间的距离.
1 若这7个顶点中有1个顶点与另2个顶点相邻, 则它们构成顶点同色的等腰三角形.
2 若其中不存在任何1个顶点与2个顶点相邻, 即每个顶点至多与1个顶点相邻.
此时, 如果A与B相邻, 那么A, B都不与B, A之外的顶点相邻, 因此相邻顶点总是成对出现.
但7为奇数, 于是其中存在1个顶点P不与其它顶点相邻.
考虑P到另外6点的距离.
正13边形的2个顶点的间距共有6种取值. 但P不与另外6点相邻, 故距离只有5种取值.
于是一定有2点到P距离相等, 这3个点即构成顶点同色的等腰三角形.