如图所示，在等腰△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D、E为斜边AB上的点，且∠DCE=45°求证：DE2=AD2+BE2．

Question

如图所示，在等腰△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D、E为斜边AB上的点，且∠DCE=45°
求证：DE²=AD²+BE²．

Answer 1

证明：如图，将△ADC绕点C逆时针旋转90°到△CBF的位置；
则CD=CE，AD=BF；∠BCF=∠ACD，∠CBF=∠A；
∵BC=AC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠ABC=∠CBF=45°，
∴∠EBF=90°，EF²=BE²+BF²=AD²+BE²；
∵∠DCE=45°，∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°-45°=45°，而∠ACD=∠BCF，
∴∠ECF=∠ECD=45°；在△DCE与△FCE中，

CD=CE

∠DCE=∠FCE

CE=CE

，
∴△DCE≌△FCE（SAS），
∴DE=EF，
∴DE²=AD²+BE²．