如图，在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x

Question

如图，在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点
（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值？
（3）在AC上是否存在点E，使△ADE是等腰三角形？若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：
∵∠BAC=90°，AB=AC
∴∠B=∠C=∠ADE=45°
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE
∴∠BAD=∠CDE
∴△ABD∽△DCE；

（2）由（1）得△ABD∽△DCE，
∴(BD)/(EC)=(AB)/(CD)
∵∠BAC=90°，AB=AC=1，
∴BC=√(2)，DC=√(2)-x，EC=1-y，
∴(x)/(1−y)=(1)/(√(2)−x)，y=x²-√(2)x+1=（x-(√(2))/(2)）²+(1)/(2)，
当x=(√(2))/(2)时，y有最小值，最小值为(1)/(2)；

（3）当AD=DE时，△ABD≌△CDE，
∴BD=CE，
∴x=1-y，即

作业帮用户 2017-10-18

问题解析

（1）根据等腰直角三角形的性质及三角形内角与外角的关系，易证△ABD∽△DCE．
（2）由△ABD∽△DCE，对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出y与x的函数关系式，根据函数图象的顶点坐标可求出其最小值．
（3）当△ADE是等腰三角形时，因为三角形的腰和底不明确，所以应分AD=DE，AE=DE，AD=AE三种情况讨论求出满足题意的AE的长即可．

名师点评

本题考点：

相似三角形的判定与性质；函数自变量的取值范围；二次函数的应用；等腰三角形的判定．

考点点评：

此题综合考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，但难度适中，是一道好题．

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