关于抛物线x^2=2py的重要结论如题,如果抛物线方程是x^2=2py,那么过焦点的弦的弦长公式是什么,弦长和过焦点的直线的斜率的关系是什么,x1x2=?,y1y2=?

Question

关于抛物线x^2=2py的重要结论
如题,如果抛物线方程是x^2=2py,那么过焦点的弦的弦长公式是什么,弦长和过焦点的直线的斜率的关系是什么,x1x2=?,y1y2=?

Answer 1

x^2=2py的焦点（0,p/2),过焦点的直线y=kx+p/2,代入抛物线的方程得,
x^2-2pkx-p^2=0
则x1+x2=2pk; x1x2=-p^2
所以过焦点的弦长公式为|AB|=y1+y2+p=(kx1+p/2)+(kx2+p/2)+p=2p(1+k^2)
y1y2=(kx1+p/2)(kx2+p/2)=k^2*x1x2+kp/2(x1+x2)+p^2/4=p^2/4