在平面直角坐标系中,抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（-2,0）,B（-4,0）两点,与y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D,点P在抛物线的对称轴上,且∠APD=∠ACB,求点P的坐

Question

在平面直角坐标系中,抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（-2,0）,B（-4,0）两点,与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D,点P在抛物线的对称轴上,且∠APD=∠ACB,求点P的坐标；
（3）点Q在直线BC上方的抛物线上,且点Q到直线BC的距离最远,求点Q坐标．

Answer 1

答：
1）把点A（-2,0）和点B（-4,0）代入抛物线方程y=-x^2+bx+c得：
-4-2b+c=0
-16-4b+c=0
解得：b=-6,c=-8
所以：抛物线的解析式为y=-x^2-6x-8.
2）抛物线y=-x^2-6x-8的对称轴x=-3,顶点D（-3,1）,与y轴的交点C（0,-8）.
△ABC中：AB=-2-(-4)=2；AC=√[(-2)^2+(-8)^2]=2√17；BC=√[(-4)^2+(-8)^2]=4√5.
根据余弦定理得：
cos∠ACB=(AC^2+BC^2-AB^2)/(2AC*BC)
=(68+80-4)/(2*8√85)=9/√85
设点P为(-3,p).
△APD中：AD=√[(-3+2)^2+(1-0)^2]=√2,PD=|p-1|,PA=√[(-3+2)^2+(p-0)^2]=√(p^2+1)
根据余弦定理得：
cos∠APD=(PA^2+PD^2-AD^2)/(2PA*PD)
=(p^2+1+p^2-2p+1-2)/[2|p-1|*√(p^2+1)]
=p(p-1)/[|p-1|*√(p^2+1)]
=cos∠ACB
=9/√85
解得：p=9/2或者p=-9/2
所以：点P的坐标为（-3,-9/2）或者（-3,9/2）.
3）直线BC为y-0=(x+4)(-8-0)/(0+4)=-2x-8,即：y=-2x-8
点Q在抛物线上、处于BC直线上方并且离直线BC最远,则经过点Q平行BC的直线必定与BC直线平行,并且是抛物线经过点Q的切线.
设该切线为y=-2x+b,代入抛物线方程y=-x^2-6x-8整理得：
x^2+4x+b+8=0
交点唯一,则判别式△=4^2-4*1*(b+8)=0,解得b=-4；
解方程得：x=-2,代入抛物线方程得y=0
所以点Q为（-2,0）,与点A重合.