已知抛物线y=x2-2mx+4m-8的顶点为A．（1）求证：该抛物线与x轴总有两个交点；（2）当m=1时，直线BC：y=kx-2与该抛物线交于B，C两点，若线段BC被x轴平分，求k的值；（3）以A为一个顶点作该抛物

Question

已知抛物线y=x²-2mx+4m-8的顶点为A．

（1）求证：该抛物线与x轴总有两个交点；
（2）当m=1时，直线BC：y=kx-2与该抛物线交于B，C两点，若线段BC被x轴平分，求k的值；
（3）以A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN（M，N两点在抛物线上），请问：△AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：△=4m²-4（4m-8）=4（m-2）²+16>0，则该抛物线与x轴总有两个交点；

（2） 当m=1时，y=x²-2x-4．
∵抛物线y=x²-2x-4与直线y=kx-2交于B、C两点，
∴x²-2x-4=kx-2，
整理，得x²-（2+k）x-2=0，
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则x₁+x₂=2+k．
∵x轴平分线段PQ，
∴线段BC的中点的纵坐标是0，即(y1+y2)/(2)=(kx1-2+kx2-2)/(2)=(2+k)/(2)，
∴(k(2+k)-4)/(2)=(2+k)/(2)，
解得 k=-1±√(5)．
即k的值是：-1±√(5)．

（3） 根据抛物线和正三角形的对称性，可知MN⊥y轴，设抛物线的对称轴与MN交于点B，则AB=√(3)BM．
设M（a，b），
∴BM=a-m（m<a）．
又AB=y_B-y_A=b-（4m-8-m²）=a²-2ma+4m-8-（4m-8-m²）=（a-m）²，
∴（a-m）²=√(3)（a-m），
∴a-m=√(3)，
∴BM=√(3)，AB=3，
∴S_△AMN=2×(1)/(2)AB•BM=2×(1)/(2)×3×√(3)=3

作业帮用户 2017-10-14

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