已知M、N为双曲线y=4x（x＞0）上的两点，且其横坐标分别为a、a+2，分别过M、N作y轴、x轴的垂线，相交于点B，垂足分别为点C、A，连接OM、ON、MN，把△OMN的面积与△BMN的面积分别记为S△OMN、S

Question

已知M、N为双曲线y=(4)/(x)（x＞0）上的两点，且其横坐标分别为a、a+2，分别过M、N作y轴、x轴的垂线，相交于点B，垂足分别为点C、A，连接OM、ON、MN，把△OMN的面积与△BMN的面积分别记为S_△OMN、S_△BMN．
（1）若矩形OABC的面积为12，求a的值，并求出此时的S_△OMN：S_△BMN；
（2）随着a的取值不同，M，N两点不断运动，当M为BC边中点时，a=______，此时S_△OMN：S_△BMN=______；
（3）结合（1）、（2）的计算结果，试猜想S_△OMN：S_△BMN的值（用含a的式子表示），并说明理由．

Answer 1

（1）∵M、N在双曲线y=(4)/(x)上，x_M=a，x_N=a+2，
∴y_M=(4)/(a)，y_N=(4)/(a+2)．
∴CM=a，OC=(4)/(a)，OA=a+2，AN=(4)/(a+2)．
∵S_矩形OABC=OA•OC=12，
∴（a+2）•(4)/(a)=12．
解得：a=1．
经检验：a=1是方程的解．
∴a的值为1．
∴CM=1，OC=4，OA=3，AN=(4)/(3)．
∵四边形OABC是矩形，
∴AB=OC=4，BC=OA=3．
∴BM=2，BN=(8)/(3)．
∴S_△BMN=(1)/(2)BM•BN=(1)/(2)×2×(8)/(3)=(8)/(3)．
∵S_△OCM=(1)/(2)CM•OC=(1)/(2)×1×4=2，
S_△OAN=(1)/(2)OA•AN=(1)/(2)×3×(4)/(3)=2，
∴S_△OMN=S_矩形OABC-S_△BMN-S_△OCM-S_△OAN
=12-(8)/(3)-2-2=(16)/(3)．
∴S_△OMN：S_△BMN=(16)/(3)：(8)/(3)=2．

（2）当M为BC边中点时，CM=BM．
∴a=a+2-a=2．
∴CM=2，OC=2，OA=4，AN=1．
∵四边形OABC是矩形，
∴AB=OC=2，BC=OA=4．
∴BM=2，BN=1．
∴S_△BMN=(1)/(2)BM•BN=(1)/(2)×2×1=1．
∵S_△OCM=(1)/(2)CM•OC=(1)/(2)×2×2=2，
S_△OAN=(1)/(2)OA•AN=

作业帮用户 2016-12-13

问题解析

（1）由M、N在双曲线y=(4)/(x)上，且x_M=a，x_N=a+2，可得y_M=(4)/(a)，y_N=(4)/(a+2)，从而得到OC=(4)/(a)，OA=a+2，由矩形OABC的面积为12即可求出a的值，就可求出线段CM、OC、OA、AN、BN、BM的长，从而求出S_△OMN、S_△BMN的值，进而求出S_△OMN：S_△BMN的值．
（2）当M为BC边中点时，易求出a的值，就可求出线段CM、OC、OA、AN、BN、BM的长，从而求出S_△OMN、S_△BMN的值，进而求出S_△OMN：S_△BMN的值．
（3）结合（1）、（2）的计算结果，可猜想S_△OMN：S_△BMN的值为a+1．先用a的代数式表示线段CM、OC、OA、AN、BN、BM的长，然后用a的代数式表示S_△OMN、S_△BMN的值，就可求出S_△OMN：S_△BMN的值．

名师点评

本题考点：

反比例函数综合题；分式的混合运算；解分式方程；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．

考点点评：

本题考查了矩形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、分式的运算、解分式方程等知识，考查了用割补法求不规则图形的面积，本题让学生经历尝试、归纳、猜想、证明等科学探究过程，是一道好题．

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