已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a.b属于R+）的左右两个焦点分别是F1,F2,P是它左支上的一点,P到左准线的距离为d.若y=√3x是已知双曲线的一条渐近线,则是否存在点P,使d,丨PF1丨,丨PF2丨成等比数列?若

Question

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a.b属于R+）的左右两个焦点分别是F1,F2,P是它左支上的一点,P到左准线的距离为d.若y=√3 x 是已知双曲线的一条渐近线,则是否存在点P,使d,丨PF1丨,丨PF2丨成等比数列?若存在,写出点P的坐标,若不存在,请说明理由

Answer 1

由题意知双曲线焦点在x轴上
又y=√3 x 是已知双曲线的一条渐近线
所以b/a=√3
则b＝√3*a
c²＝a²+b²＝4a²
所以c=2a
因为P是它左支上的一点,P到左准线的距离为d
所以|PF1|/d=c/a=2
即|PF1|=2d
又|PF2|-|PF1|=2a
则|PF2|=2a+2d
假设存在点P,使d,丨PF1丨,丨PF2丨成等比数列
则|PF1|²=d*|PF2|
即4d²＝d*(2a+2d)
4d=2a+2d
解得a=d
即点P到做准线的距离等于a
设点P坐标是(x,y),其中x