已知点P是双曲线C：x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)左支上一点，F1，F2是双曲线的左、右两个焦点，且PF1⊥PF2，PF2与两条渐近线相交于M，N两点（如图），点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率是（

Question

已知点P是双曲线C：(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1(a＞0，b＞0)左支上一点，F₁，F₂是双曲线的左、右两个焦点，且PF₁⊥PF₂，PF₂与两条渐近线相交于M，N两点（如图），点N恰好平分线段PF₂，则双曲线的离心率是（　　）
A. √(5)
B. 2
C. √(3)
D. √(2)

Answer 1

在三角形F₁F₂P中，点N恰好平分线段PF₂，点O恰好平分线段F₁F₂，
∴ON∥PF₁，又ON的斜率为(b)/(a)，
∴tan∠PF₁F₂=(b)/(a)，
在三角形F₁F₂P中，设PF₂=bt．PF₁=at，
根据双曲线的定义可知|PF₂|-|PF₁|=2a，∴bt-at=2a，①
在直角三角形F₁F₂P中，|PF₂|²+|PF₁|²=4c²，∴b²t²+a²t²=4c²，②
由①②消去t，得(a2+b2)(4a2)/((b−a)2)＝4c2，
又c²=a²+b²，
∴a²=（b-a）²，即b=2a，
∴双曲线的离心率是(c)/(a)=(√(a2+b2))/(a)＝√(5)，
故选A．