如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的高，⊙O的直径AE交BC于点F，点P在BC的延长线上，∠CAP=∠B（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）求证：PC•PB=PD•PF．

Question

如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的高，⊙O的直径AE交BC于点F，点P在BC的延长线上，∠CAP=∠B

（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）求证：PC•PB=PD•PF．

Answer 1

证明：（1）连接EC，
∵∠CAP=∠B，
∴∠E=∠B=∠CAP，
∵⊙O的直径AE，
∴∠ECA=90°，
∴∠E+∠EAC=90°，
∴∠EAC+∠CAP=90°，
∴∠EAP=90°，
∴PA是⊙O的切线；
（2）∵∠P=∠P，∠CAP=∠B，
∴△PAC∽△PBA，
∴(PA)/(PB)=(PC)/(PA)，
∴PA²=PB•PC，
∵∠P=∠P，∠ADP=∠FAP，
∴△ADP∽△FAP，
∴(AP)/(PF)=(DP)/(AP)，
∴AP²=DP•PF，
∴PC•PB=PD•PF．