在底面半径为R，高为h的圆锥内有一内接圆柱，则内接圆柱的圆柱的高为时，其侧面积最大值为．

Question

在底面半径为R，高为h的圆锥内有一内接圆柱，则内接圆柱的圆柱的高为___时，其侧面积最大值为___．

Answer 1

圆锥及其内接圆柱的轴截面如图所示．
设所求的圆柱的底面半径为r．它的侧面积S=2πrx，
∵(r)/(R)=(h-x)/(h)，∴r=R-(R)/(h)•x，
∴S=2πRx-(2πR)/(h)x²，
圆柱的侧面积S是关于x的二次函数：
S=-(2πR)/(h)x²+2πRx，
∵S的表达式中x²的系数小于0，
∴这个二次函数有最大值，
这时圆柱的高x=(h)/(2)，
即当圆柱的高是已知圆锥的一半时，它的侧面积最大．
侧面积的最大值为S_max=-(2πR)/(h)•((h)/(2))2+2πR•(h)/(2)=(1)/(2)πRh．
故答案为：(h)/(2)，(1)/(2)πRh．