直径为1的圆内接正4边形周长是?内接正8边形周长是?内接正16边形周长是?.怎么求极限?

Question

直径为1的圆内接正4边形 周长是?
内接正8边形 周长是?
内接正16边形 周长是?
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怎么求极限?

Answer 1

晕,什么叫一个变大一个变小极限就是派?别乱说!
圆半径R,内接n边形,则n个等腰三角形底角都是（n-2）#/2n （#代表派）
底边便是2Rcos[(n-2)#/2n]
总边长2nRcos[(n-2)#/2n]
球当n趋向正无穷的极限
变形一下：
2R * cos[（n-2）#/2n] / （1/n）
注意上式当n趋向正无穷时,除号上下的cos[（n-2）#/2n] 和（1/n）都是趋向0的,因此相当于求他们导数的商的极限
即原式等于：
2R * { - sin[（n-2）#/2n] * [2n-2(n-2)]#/4n^2} / [-1/n^2]
化简得
2#R * sin[（n-2）#/2n]
当n趋向于正无穷时,[（n-2）#/2n]趋向于 （#/2）,所以
sin[（n-2）#/2n] 趋向于sin（#/2）=1
所以总边长趋向于 2#R 亦即圆的周长.