正方形内接正三角形设边长为4的正方形,试在这个正方形的内接正三角形中.求出一个面积最大的与面积最小的.

Question

正方形内接正三角形 设边长为4的正方形,试在这个正方形的内接正三角形中.求出一个面积最大的与面积最小的.

Answer 1

证明 假设ΔEFG为正方形ABCD的任一内接正三角形,由于正ΔEFG三个顶点必落在正方形三边上,不妨设E在AD上,F在AB上,G在CD上.取FG的中点为K,连DK,则E,K,G,D四点共圆,故∠KDE=∠KGE=60°.连AK,同理可得：∠KAE=∠KFE=60°.所以ΔKDA为正三角形,而K它的一个顶点.由此可知,内接正ΔEFG的边FG中点必是不动点K.又正三角形面积由边长决定,当KF⊥AB,边长为4,这时边长为最小,面积为4√3； 当KF通过B点,即F与B重合时,易求得边长:4/cos15°=4(√6-√2),这时边长最大,面积为16(2√3-3).此命题用解析几何解也可