（2014•北京）导体切割磁感线的运动可以从宏观和微观两个角度来认识．如图所示，固定于水平面的U型导线框处于竖直向下的匀强磁场中，金属直导线MN在于其垂直的水平恒力F作用下，在

Question

（2014•北京）导体切割磁感线的运动可以从宏观和微观两个角度来认识．如图所示，固定于水平面的U型导线框处于竖直向下的匀强磁场中，金属直导线MN在于其垂直的水平恒力F作用下，在导线框上以速度v做匀速运动，速度v与恒力F的方向相同：导线MN始终与导线框形成闭合电路．已知导线MN电阻为R，其长度L恰好等于平行轨道间距，磁场的磁感应强度为B．忽略摩擦阻力和导线框的电阻．
（1）通过公式推导验证：在△t时间内，F对导线MN所做的功W等于电路获得的电能W′，也等于导线MN中产生的焦耳热Q；
（2）若导线MN的质量m=8.0g，长度L=0.10m，感应电流I=1.0A，假设一个原子贡献一个自由电子，计算导线MN中电子沿导线长度方向定向移动的平均速率v_e（下表中列出一些你可能会用到的数据）；

阿伏伽德罗常数NA	6.0×1023mol-1
元电荷e	1.6×10-19C
导线MN的摩尔质量μ	6.0×10-2Kg/mol

（3）经典物理学认为，金属的电阻源于定向运动的自由电子和金属离子（即金属原子失去电子后的剩余部分）的碰撞．展开你想象的翅膀，给出一个合理的自由电子的运动模型；在此基础上，求出导线MN中金属离子对一个自由电子沿导线长度方向的平均作用力f的表达式．

Answer 1

（1）导体切割磁感线，产生的动生电动势为：
E=BLv         ①
根据闭合电路欧姆定律，电流：
I＝(E)/(R)＝(BLv)/(R)     ②
安培力：
F＝BIL＝(B2L2v)/(R)  ③
力F做功：
W＝F△x＝Fv△t＝(B2L2v2)/(R)△t    ④
产生的电能：
W电＝EI△t＝(B2L2v2)/(R)△t       ⑤
产生的焦耳热：
Q＝I2R△t＝(B2L2v2)/(R)△t         ⑥
由④⑤⑥可知，W=W_电=Q
（2）总电子数：N＝NA(m)/(μ)
单位体积内的电子数为n，则：
N=nSl
又由于I＝eve•nS＝eve•(N)/(l)＝eve•(NAm)/(lμ)     ⑦
故ve＝7.8×10−6m/s
（3）从微观角度看，导线中的自由电子与金属离子发生碰撞，可以看做非完全弹性碰撞，自由电子损失的动能转化为焦耳热；从整体角度看，可视为金属离子对自由电子整体运动的平均阻力导致自由电子动能的损失，即：
W_损=N•fL                           ⑧
从宏观角度看，导线MN速度不变，力F做功使外界能量完全转化为焦耳热；△t时间内，力f做功：
△W=fv△t                            ⑨
又由于△W=W_损，
故：fv△t=N•fl=nSv_e△t•f
代入⑦，得：
f v＝(1)/(e)•f l
代入②③，得：
f=evB
答：（1）证明如上；
（2）导线MN中电子沿导线长度方向定向移动的平均速率为7.8×10^-6m/s；
（3）导线MN中金属离子对一个自由电子沿导线长度方向的平均作用力f的表达式为f=evB．