离散a,b属于S且a,b都有逆元证明定理(a^(-1))^(-1)=a(a*b)^(-1)=b^(-1)*a^(-1)1.(a^(-1))^(-1)=a;2.(a*b)^(-1)=b^(-1)*a^(-1)

Question

离散 a,b属于S 且 a,b都有逆元 证明定理(a^(-1))^(-1)=a (a*b)^(-1)=b^(-1)*a^(-1)
1.(a^(-1))^(-1)=a;
2.(a*b)^(-1)=b^(-1)*a^(-1)

Answer 1

设单位元为e.
x的逆元按定义是满足x·y = y·x = e的元素y.
逆元是唯一的:设x·y = y·x = e,x·z = z·x = e,有y = y·e = y·(x·z) = (y·x)·z = e·z = z.
1.a^(-1)是a的逆元,即有a·a^(-1) = a^(-1)·a = e,也即a^(-1)·a = a·a^(-1) = e.
于是a也是a^(-1)的逆元,可写为(a^(-1))^(-1) = a.
2.(a·b)·(b^(-1)·a^(-1)) = a·(b·(b^(-1))·a^(-1) = a·e·a^(-1) = a·a^(-1) = e.
(b^(-1)·a^(-1))·(a·b) = b^(-1)·(a^(-1)·a)·b = b^(-1)·e·b = b^(-1)·b = e.
于是b^(-1)·a^(-1)是a·b的逆元,即有b^(-1)·a^(-1) = (a·b)^(-1).