谁能告诉我a*b=|a|*|b|cosα是怎么推理出来的?请详细说明.谢谢!

Question

谁能告诉我a*b=|a|*|b|cosα是怎么推理出来的? 请详细说明. 谢谢!

Answer 1

在欧几里得空间中,点积可以直观地定义为
,
这里 |x| 表示x的范数（长度）,θ表示两个矢量之间的角度.
注意：点积的形式定义和这个定义不同；在形式定义中,a和b的夹角是通过上述等式定义的.
这样,两个互相垂直的矢量的点积总是零.若a和b都是单位矢量（长度为1）,它们的点积就是它们的夹角的余弦.那么,给定两个矢量,它们之间的夹角可以通过下列公式得到：
这个运算可以简单地理解为：在点积运算中,第一个矢量投影到第二个矢量上（这里,矢量的顺序是不重要的,点积运算是可交换的）,然后通过除以它们的标量长度来“标准化”.这样,这个分数一定是小于等于1的,可以简单地转化成一个角度值.
点积可以用来计算合力和功.若b为单位矢量,则点积即为a在方向b的投影,即给出了力在这个方向上的分解.功即是力和位移的点积.