如图，在△ABC中，∠A=∠α，△ABC的内角平分线或外角平分线交于点P，且∠P=∠β．是试求下列各图中∠α与∠β的关系，并选择一个加以证明．图（1）中∠α与∠β的关系是图（2）中∠α与

Question

如图，在△ABC中，∠A=∠α，△ABC的内角平分线或外角平分线交于点P，且∠P=∠β．是试求下列各图中∠α与∠β的关系，并选择一个加以证明．
图（1）中∠α与∠β的关系是___
图（2）中∠α与∠β的关系是___
图（3）中∠α与∠β的关系是___

Answer 1

在图（1）中，根据三角形内角和定理可得：∠ABC+∠ACB=180°-∠A．
∵BP与CP是△ABC的角平分线，
∴∠PBC=(1)/(2)∠ABC，∠PCB=(1)/(2)∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=(1)/(2)（∠ABC+∠ACB）=90°-(1)/(2)α．
在△PBC中，∠BPC=180°-（∠PCB+∠PCB）=180°-（90°-(1)/(2)α）=90°+(1)/(2)α．
∴β=90°+(1)/(2)α．
故答案为：β=90°+(1)/(2)α．

如图（2），结论：∠BPC=(1)/(2)∠A．
证明如下：
∠P=∠1-∠2=(1)/(2)（∠ACD-∠ABC）=(1)/(2)∠A．
∴β=(1)/(2)α；
故答案为：β=(1)/(2)α；

如图（3）∵BP、CP分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，
∴∠CBP=(1)/(2)（∠A+∠ACB），∠BCP=(1)/(2)（∠A+∠ABC），
∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP=180°-∠A-(1)/(2)（∠ABC+∠ACB），
∴∠P与∠A的关系是：∠P=180°-∠A-(1)/(2)（∠ABC+∠ACB）=90°-(1)/(2)α，
即β=90°-(1)/(2)α．
故答案为：β=90°-(1)/(2)α．