如图，已知点A（tanα，0），B（tanβ，0）在x轴正半轴上，点A在点B的左边，α、β是以线段AB为斜边、顶点C在x轴上方的Rt△ABC的两个锐角．（1）若二次函数y=-x2-52kx+（2+2k-k2）的图象经过A、B两

Question

如图，已知点A（tanα，0），B（tanβ，0）在x轴正半轴上，点A在点B的左边，α、β是以线段AB为斜边、顶点C在x轴上方的Rt△ABC的两个锐角．

（1）若二次函数y=-x²-(5)/(2)kx+（2+2k-k²）的图象经过A、B两点，求它的解析式；
（2）点C在（1）中求出的二次函数的图象上吗？请说明理由．

Answer 1

（1）∵α、β是Rt△ABC的两个锐角，
∴tanα•tanβ=1，tanα＞0，tanβ＞0，
由题意，知tanα，tanβ是方程-x²-(5)/(2)kx+（2+2k-k²）=0的两个根．
∴tanα•tanβ=-（2+2k-k²）=k²-2k-2=1，
∴k²-2k-2=1，
解得，k=3或k=-1；
而tanα+tanβ=-(5)/(2)k＞0．
∴k＜0．
∴k=3（舍去），k=-1．
故所求的二次函数的解析式为y=-x²+(5)/(2)x-1．
（2）不存在．
过C作CD⊥AB于D．
令y=0，得-x²+(5)/(2)x-1=0．
解得x₁=(1)/(2)，x₂=2．
∴A（(1)/(2)，0），B（2，0），AB=(3)/(2)
∴tanα=(1)/(2)，tanβ=2．
设CD=m，则有CD=AD•tanα=(1)/(2)AD，
∴AD=2CD．
又∵CD=BD•tanβ=2BD，
∴BD=(1)/(2)CD，
∴2m+(1)/(2)m=(3)/(2)，
∴m=(3)/(5)，
∴AD=(6)/(5)．
∴C（(17)/(10)，(3)/(5)），
当x=(17)/(10)时，y=(9)/(25)≠(3)/(5)．
∴点C不在（1）求出的二次函数的图象上．