设向量组α1,α2,...,αn中,前n-1个向量线性相关,后n-1个向量线性无关,试讨论：（1）α1能否用α2,α3,...,αn-1线性表示；（2）αn能否用α1,α2,...,αn-1线性表示；求这道线性代数题的详细过程,越详细

Question

设向量组α1,α2,...,αn中,前n-1个向量线性相关,后n-1个向量线性无关,试讨论：
（1）α1能否用α2,α3,...,αn-1线性表示；
（2）αn能否用α1,α2,...,αn-1线性表示；
求这道线性代数题的详细过程,越详细越好

Answer 1

解: (1) 能.
由已知α2,...,αn线性无关
所以 α2,...,αn-1 线性无关.
[整体无关则部分无关]
再由已知 α1,α2,...,αn-1 线性相关
所以 α1能由α2,α3,...,αn-1线性表示.
[线性无关的向量组添加一个向量后变线性相关,
那么这个向量可由原向量组线性表示]
(2) 不能.
反证. 假设αn能由α1,α2,...,αn-1线性表示
由(1)知 α1能由α2,α3,...,αn-1线性表示
所以 αn能用α2,α3,...,αn-1线性表示
这与 后n-1个向量α2,α3,...,αn线性无关矛盾.