已知向量组α1，α2，α3线性无关，β1=α1+α2，β2=α2+α3，β3=α3+α1，证明：向量组β1，β2，β3线性无关．

Question

已知向量组α₁，α₂，α₃线性无关，β₁=α₁+α₂，β₂=α₂+α₃，β₃=α₃+α₁，证明：向量组β₁，β₂，β₃线性无关．

Answer 1

设k₁β₁+k₂β₂+k₃β₃=0，则有：
（k₁+k₃）α₁+（k₁+k₂）α₂+（k₂+k₃）α₃=0
因为向量组α₁，α₂，α₃线性无关，
所以，

k1+k3＝0

k1+k2＝0

k2+k3＝0

．
因为系数矩阵

1	0	1
1	1	0
0	1	1

→

1	0	1
0	1	−1
0	1	1

→

1	0	1
0	1	−1
0	0	1

．
可知系数矩阵的秩=3，所以，k₁，k₂，k₃只有零解．
所以，向量组β₁，β₂，β₃线性无关．