设α1，α2，α3，α4是齐次线性方程组AX=0的基础解系，则下列向量组中（）也是AX=0的基础解系．A．α1，α1+α2，α3+α4B．α1-α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1C．2α1，α2+α3，α3-α4，α4D．α1，α1+α2

Question

设α₁，α₂，α₃，α₄是齐次线性方程组AX=0的基础解系，则下列向量组中（　　）也是AX=0的基础解系．

A．α₁，α₁+α₂，α₃+α₄
B．α₁-α₂，α₂+α₃，α₃+α₄，α₄-α₁
C．2α₁，α₂+α₃，α₃-α₄，α₄
D．α₁，α₁+α₂，α₂+α₃，α₃

Answer 1

①选项A．由于α₁，α₁+α₂，α₃+α₄只有三个解向量，而AX=0的基础解系含有四个解向量，故A错误；
②选项B．由于（α₁-α₂，α₂+α₃，α₃+α₄，α₄-α₁）=（α₁，α₂，α₃，α₄）

1	0	0	−1
−1	1	0	0
0	1	1	0
0	0	1	1

，
而

.

1	0	0	−1
−1	1	0	0
0	1	1	0
0	0	1	1

.

=0，因此（α₁-α₂，α₂+α₃，α₃+α₄，α₄-α₁）是线性相关的，故B错误；
③选项C．由于（2α₁，α₂+α₃，α₃-α₄，α₄）=（α₁，α₂，α₃，α₄）

2	0	0	0
0	1	0	0
0	1	1	0
0	0	−1	1

而

.

2	0	0	0
0	1	0	0
0	1	1	0
0	0	−1	1

.

=2≠0，因此（2α₁，α₂+α₃，α₃-α₄，α₄）是线性无关的，故C正确；
④选项D．由于（α₁，α₁+α₂，α₂+α₃，α₃）=（α₁，α₂，α₃，α₄）

1	1	0	0
0	1	1	0
0	0	1	1
0	0	0	0

，
而

.

1	1	0	0
0	1	1	0
0	0	1	1
0	0	0	0

.

＝0，因此（α₁，α₁+α₂，α₂+α₃，α₃）是线性相关的，故D错误．
故选：C