已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax（a∈R）（1）若函数y=f（x）和y=g（x）的图象无公共点，试求实数a的取值范围；（2）若存在两个实数x1，x2且x1≠x2，满足f（x1）=g（x1），f（x2）=g（x2），求证x1x

Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax（a∈R）
（1）若函数y=f（x）和y=g（x）的图象无公共点，试求实数a的取值范围；
（2）若存在两个实数x₁，x₂且x₁≠x₂，满足f（x₁）=g（x₁），f（x₂）=g（x₂），求证x₁x₂＞e²．

Answer 1

（1）∵函数y=f（x）和y=g（x）的图象无公共点，
∴方程f（x）=g（x）无实数解，即lnx=ax无实数解，
则a=(lnx)/(x)，令h（x）=(lnx)/(x)，h′（x）=(1−lnx)/(x2)，
当x＞e，h′（x）＜0；当0＜x＜e，h′（x）＞0．
故x=e，h（x）取极大值，也为最大值(1)/(e)．
∴实数a的取值范围是：（(1)/(e)，+∞）．
（2）证明：令x₁＞x₂＞0，
∵f（x₁）=g（x₁），f（x₂）=g（x₂），
∴lnx₁-ax₁=0，lnx₂-ax₂=0，
∴lnx₁-lnx₂=a（x₁-x₂），lnx₁+lnx₂=a（x₁+x₂），
∴x₁•x₂＞e²等价于lnx₁+lnx₂＞2⇔a（x₁+x₂）＞2⇔a＞(2)/(x1+x2)，
即(lnx1−lnx2)/(x1−x2)＞(2)/(x1+x2)⇔ln(x1)/(x2)＞(2((x1)/(x2)−1))/((x1)/(x2)+1)，
令(x1)/(x2)=t，则t＞1，x₁•x₂＞e²等价于lnt＞(2(t−1))/(t+1)，
令g（t）=lnt-(2(t−1))/(t+1)，g′（t）=((t−1)2)/(t(t+1)2)＞0，
∴g（t）在（1，+∞）上递增，
即有g（t）＞g（1）=0，即lnt＞(2(t−1))/(t+1)成立．
故x₁•x₂＞e²．