已知向量m=（2sinθ，sinθ+cosθ），n=（cosθ，-2-m），函数f（θ）=m•n的最小值为g（m）（m∈R）（1）当m=1时，求g（m）的值；（2）求g（m）；（3）已知函数h（x）为定义在R上的增函数，且对任

Question

已知向量

m

=（2sinθ，sinθ+cosθ），

n

=（cosθ，-2-m），函数f（θ）=

m

•

n

的最小值为g（m）（m∈R）
（1）当m=1时，求g（m）的值；
（2）求g（m）；
（3）已知函数h（x）为定义在R上的增函数，且对任意的x₁，x₂都满足h（x₁+x₂）=h（x₁）+h（x₂）问：是否存在这样的实数m，使不等式h（f（θ））-h（(4)/(sinθ+cosθ)）+h（3+2m）＞0对所有θ∈[0，(π)/(2)]恒成立，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵f（θ）=sin2θ-（2+m）（sinθ+cosθ），
令t=sinθ+cosθ，t∈[-√(2)，√(2)]，
∴sin2θ=t²-1，
当m=1时，g（m）=（t²-3t-1）_min=1-3√(3)．
（2）f（θ）=F（t）=t²-（m+2）t-1，t∈[-√(2)，√(2)]，
∴g（m）=√((m+2)√(2)+1，m≤−2√(作业帮用户2016-12-09问题解析（1）把m=1，代入相应的向量坐标表示式，然后，利用向量数量积的坐标表示，化简函数解析式即可；（2）转化成二次函数问题，对对称轴的位置与区间[-√(2)，√(2)]进行讨论；（3）利用函数h（x）为R上的奇函数，得到h[sin2θ-（2+m）（sinθ+cosθ）-(4)/(sinθ+cosθ)]＞h（-3-2m），然后，再根据函数的单调性，转化成sin2θ-（2+m）（sinθ+cosθ）-(4)/(sinθ+cosθ)＞-3-2m，最后，利用换元法t=sinθ+cosθ，转化成m＞(t(2−t)+(2)/(t)(2−t))/(2−t)＝t+(2)/(t)，求解函数g（t）在[1，√(2)]的最大值为3，从而解决问题．名师点评本题考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．考点点评：本题综合考查了三角函数的公式、三角恒等变换公式、二次函数最值、三角函数的图象与性质等知识，对于恒成立问题，一般思路是分离参数法，本题属于难题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议))