e^iπ=-1为什么?别说什么是欧拉说的e^ix=cosx+isinx所以就有那个结论我问的是这个式子的证明!这个不是定义式的有人证明我看不到任何关于这个的资料(或许我弱了)总之,这个题我要严谨证

Question

e^iπ=-1为什么?
别说什么是欧拉说的e^ix = cosx + isinx 所以就有那个结论
我问的是这个式子的证明! 这个不是定义式的 有人证明 我看不到任何关于这个的资料(或许我弱了)
总之,这个题我要严谨证明 不要定义.

Answer 1

要证明这个结论，需要一定的知识基础
1）泰勒级数
2）求导运算
希望已经具备。
首先给出泰勒展开公式。
一个可导函f(x)可以在 x0 点处进行展开。
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)/2! *(x-x0)^2 + f'''(x0)/3! *(x-x0)^3+……+f(n)(x0)/n! * (x-x0)^n
按照这个可以对 cosx 和 sinx 在 x=0 处进行展开
f(x)=cosx
=cos0 - sin0 * x -cos0 * x^2/2! + sin0 * x^3/3! + cos0 * x^4/4!……
= 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ……
f(x)=sinx
=sin0 + cos0 * x -sin0 * x^2/2! - cos0 * x^3/3! + sin0 * x^4/4! + ……
= x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ……
同样，也可以对 f(x) = e^x 进行 x=0 处的泰勒展开。
f(x) = e^x
=e^0 + e^0 * x + e^0 * x^2/2! + e^0 * x^3/3! + …… + e^0 * x^n/n!
=1 + x + x^2/2! + x^3/3! + …… + x^n/n!
用 ix 替换上面的x，得到 e^(ix)的多极泰勒展开。
f(x) = e^(ix)
=1 + ix - x^2/2! -ix^3/3! + x^4/4! + ix^5/5! - x^6/6!
=(1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ……) + i (x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ……)
可以看到 第一个括弧中的表达式恰好与 cosx 的展开式相同，第二个括弧中的展开式与 sinx 的展开式相同。
因此
e^(ix) = cosx + isinx