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已知凸四边形ABCD中,∠A=∠C=90°.(1)如图1,若DE平分∠ADC,BF平分∠ABC的邻补角,判断DE与BF位置关系并证明;(2)如图2,若BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角,判断DE与BF位置关系并证
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已知凸四边形ABCD中,∠A=∠C=90°.
(1)如图1,若DE平分∠ADC,BF平分∠ABC的邻补角,判断DE与BF位置关系并证明;
(2)如图2,若BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角,判断DE与BF位置关系并证明.

(1)如图1,若DE平分∠ADC,BF平分∠ABC的邻补角,判断DE与BF位置关系并证明;
(2)如图2,若BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角,判断DE与BF位置关系并证明.

▼优质解答
答案和解析
(1)DE⊥BF,
延长DE交BF于点G
∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°
又∵∠A=∠C=90°,
∴∠ABC+∠ADC=180°
∵∠ABC+∠MBC=180°
∴∠ADC=∠MBC,
∵DE、BF分别平分∠ADC、∠MBC
∴∠EDC=
∠ADC,∠EBG=
∠MBC,
∴∠EDC=∠EBG,
∵∠EDC+∠DEC+∠C=180°
∠EBG+∠BEG+∠EGB=180°
又∵∠DEC=∠BEG∴∠EGB=∠C=90
∴DE⊥BF;
(2)DE∥BF,
连接BD,
∵DE、BF分别平分∠NDC、∠MBC
∴∠EDC=
∠NDC,∠FBC=
∠MBC,
∵∠ADC+∠NDC=180°
又∵∠ADC=∠MBC
∴∠MBC+∠NDC=180°
∴∠EDC+∠FBC=90°,
∵∠C=90°∴∠CDB+∠CBD=90°
∴∠EDC+∠CDB+∠FBC+∠CBD=180°
即∠EDB+∠FBD=180°,
∴DE∥BF.
延长DE交BF于点G
∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°
又∵∠A=∠C=90°,
∴∠ABC+∠ADC=180°
∵∠ABC+∠MBC=180°
∴∠ADC=∠MBC,
∵DE、BF分别平分∠ADC、∠MBC
∴∠EDC=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴∠EDC=∠EBG,
∵∠EDC+∠DEC+∠C=180°
∠EBG+∠BEG+∠EGB=180°
又∵∠DEC=∠BEG∴∠EGB=∠C=90
∴DE⊥BF;
(2)DE∥BF,
连接BD,
∵DE、BF分别平分∠NDC、∠MBC
∴∠EDC=
1 |
2 |
1 |
2 |
∵∠ADC+∠NDC=180°
又∵∠ADC=∠MBC
∴∠MBC+∠NDC=180°
∴∠EDC+∠FBC=90°,
∵∠C=90°∴∠CDB+∠CBD=90°
∴∠EDC+∠CDB+∠FBC+∠CBD=180°
即∠EDB+∠FBD=180°,
∴DE∥BF.
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