如果点P将线段AB分成两条相等的线段AP和PB，那么点P叫做线段AB的二分点（中点）；如果点P1、P2将线段AB分成三条相等的线段AP1、P1P2和P2B，那么点P1、P2叫做线段AB的三分点；依此类推，如果

Question

如果点P将线段AB分成两条相等的线段AP和PB，那么点P叫做线段AB的二分点（中点）；如果点P₁、P₂将线段AB分成三条相等的线段AP₁、P₁P₂和P₂B，那么点P₁、P₂叫做线段AB的三分点；依此类推，如果点P₁、P₂、…、P_n-1将线段AB分成n条相等的线段AP₁、P₁P₂、P₂P₃、…、P_n-1B，那么点P₁、P₂、…、P_n-1叫做线段AB的n等分点，如图（1）所示

已知点A、B在直线l的同侧，请解答下面的问题；
（1）在所给边长为1个单位的正方形网格中，探究：
①如图（2），若点A、B到直线l的距离分别是4个单位和2个单位，那么线段AB的中点P到直线l的距离是___单位．
②如图（3），若点A、B到直线l的距离分别是2个单位和5个单位，那么线段AB的中点P到直线l的距离是___单位．
③由①②可以发现结论：若点A、B到直线l的距离分别是h个单位和t个单位，那么线段AB的中点P到直线l的距离是___单位．
（2）如图（4），若点A、B到直线l的距离分别是d₁和d₂，利用（1）中的结论求线段AB的三等分点P₁、P₂到直线l的距离___
（3）若点A、B到直线l的距离分别是d₁和d₂，点P₁、P₂、…P_n-1为线段AB的n等分点，则第i个n等分点P_i到直线l的距离是___．

Answer 1

（1）①如图（2），AB在直线l的同侧，则线段AB的中点P到直线l的距离是(1)/(2)×（4+2）=3（cm）；
故答案是：3；
②如图（3），若点A、B到直线l的距离分别是2个单位和5个单位，那么线段AB的中点P到直线l的距离是：(2+5)/(2)=(7)/(2)（单位）．
故答案是：(7)/(2)；
③由①②可以发现结论：若点A、B到直线l的距离分别是h个单位和t个单位，那么线段AB的中点P到直线l的距离是 (h+t)/(2)单位．
故答案是：(h+t)/(2)．

（2）如图（4），设P₁M=x，由（1）中结论可得(AC+P2N)/(2)=x，
∴P₂N=2x-d₁，
由（1）中结论可得(P1M+BD)/(2)=P₂N，即(x+d2)/(2)=2x-d₁，
解方程得x=(2d1+d2)/(3)，
∴P₂N=(d1+2d2)/(3)，即点₁、P₂到直线l的距离分别为(2d1+d2)/(3)、(d1+2d2)/(3)，
若点A、B到直线l的距离分别是d₁和d₂，利用（1）中的结论求线段AB的三等分点P₁、P₂到直线l的距离 (2d1+d2)/(3)，(d1+2d2)/(3)．

（3）若点A、B到直线l的距离分别是d₁和d₂，点P₁、P₂、…P_n-1为线段AB的n等分点，则第i个n等分点P_i到直线l的距离是 ((n-1)d1+id2)/(n)．