已知抛物线E：x2=2py（p＞0），直线y=kx+2与E交于A、B两点，且OA•OB=2，其中O为原点．（1）求抛物线E的方程；（2）点C坐标为（0，-2），记直线CA、CB的斜率分别为k1，k2，证明：k12+k22-2k2为定值

Question

已知抛物线E：x²=2py（p＞0），直线y=kx+2与E交于A、B两点，且

OA

•

OB

=2，其中O为原点．
（1）求抛物线E的方程；
（2）点C坐标为（0，-2），记直线CA、CB的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁²+k₂²-2k²为定值．

Answer 1

（1）将y=yx+2代入x²=2py，得x²-2pkx-4p=0，
其中△=4p²k²+16p＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-4p，
∴

OA

•

OB

=x1x2+

y

1

y2=x1x2+(x12)/(2p)•(x22)/(2p)=-4p+4，
由已知，-4p+4=2，解得p=(1)/(2)，
∴抛物线E的方程为x²=y．
（2）证明：由（1）知x₁+x₂=k，x₁x₂=-2，
k1=(y1+2)/(x1)=(x12+2)/(x1)=(x12-x1x2)/(x1)=x₁-x₂，
同理k₂=x₂-x₁，
∴k12+k22-2k2=2（x₁-x₂）²-2（x₁+x₂）²=-8x₁x₂=16．