数学问题24.验证在整个oxy平面内(4x3y3-3y2+5)dx+(3x4y2-6xy-4)dy是某个二元函数u(x,y)的全微分,并求这样的一个u(x,y).

Question

数学问题
24.验证在整个oxy平面内
(4x3y3-3y2+5)dx+(3x4y2-6xy-4)dy
是某个二元函数u(x,y)的全微分,并求这样的一个u(x,y).

Answer 1

P=4x^3y^3-3y^2+5,
Q=3x^4y^2-6xy-4
Py=12x^3y^2-6y
Qx=12x^3y^2-6y
Py=Qx
所以
(4x3y3-3y2+5)dx+(3x4y2-6xy-4)dy
是某个二元函数u(x,y)的全微分,
(4x3y3-3y2+5)dx+(3x4y2-6xy-4)dy
=d(x^4y^3)-d(3xy^2)+d(5x-4y)
=d(x^4y^3-3xy^2+5x-4y)
所以
u(x,y)=x^4y^3-3xy^2+5x-4y+c.