有关二元函数极限的疑惑书上说二元函数极限必须是以任何方式接近都是同一个极限值，那么二元函数在这个点才有极限值。举个例子f（x，y）=xy^2/(x^2+y^4)在(0,0)处的极限.我设y=kx（所有的直

Question

有关二元函数极限的疑惑
书上说二元函数极限必须是以任何方式接近都是同一个极限值，那么二元函数在这个点才有极限值。举个例子f（x，y）=xy^2/(x^2+y^4)在(0,0)处的极限.我设y=kx（所有的直线方式趋近），极限为0，我设y=x^k（以这条曲线接近（0，0）点），算出的极限不为0，根据书上所讲，这个函数在（0，0）点无极限，我疑惑的正是这一点，前面我们知道所有直线方式趋近都有极限0，而以曲线趋近时，那条曲线上的点都可以找到那些直线上的点一一对应，为什么最后他的极限不为0，难道曲线上有点是无法在直线上找到的吗？，我知道自己说的都是感觉，肯定是错的（因为确实按曲线算极限不为0），谁能告诉我我错在哪里，谢谢，期待高手解答。

Answer 1

你提了很好的问题。现在我们可以再分析一下这道题。
设y=x²，则f(x,y)=x³/(x²+x^8)。
由于当x→0时，x^8相对于x²是高阶无穷小，可忽略。则有：
f(x,y)=x³/x²=x=0
再设y=x^(¼),则f(x,y)=x^(3/2)/(x²+x)。
当x→0时，x²相对于x是高阶无穷小，可忽略。则有
f(x,y)=x^(3/2)/x=x^(1/2)=0
在以上两种情况下，f(x,y)的极限为0。
可是若设y=x^(0.5)或y=√x，则
f(x,y)=x²/(x²+x²)=1/2。
此时x→0时，f(x,y)是一个常数。
你的问题是：“那条曲线上的点都可以找到那些直线上的点一一对应，为什么最后他的极限不为0，难道曲线上有点是无法在直线上找到的吗？”
现在我们看看什么直线（y=kx）与这条曲线（y=√x）在趋近0时是一致的。显然，这条直线必须是此曲线在x=0时的切线。
由于曲线y=√x的一阶导数是：
y′=1/(2√x)
所以此曲线在x=0处切线的斜率是无穷大（k=∞）。由于（k=∞），除x=0外，任何一个非0的x值都会使y值无穷大。这样，除x=0外，曲线y=√x上的点确实无法在此直线上找到一个对应的近似值。这样你的问题所得到的回答是肯定的。