若对任意，，（、）有唯一确定的与之对应，称为关于、的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数为关于实数、的广义“距离”:（1）非负性:，当且仅当时取等号

Question

若对任意 ， ，（ 、 ）有唯一确定的 与之对应，称 为关于 、 的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数 为关于实数 、 的广义“距离”:
（1）非负性: ，当且仅当 时取等号；
（2）对称性: ；
（3）三角形不等式: 对任意的实数z均成立.
今给出四个二元函数:① ；② ；③ ；
④ .能够成为关于的 、 的广义“距离”的函数的所有序号是（     ）

A．①

B．②

C．③

D．④

Answer 1

若对任意 ， ，（ 、 ）有唯一确定的 与之对应，称 为关于 、 的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数 为关于实数 、 的广义“距离”:
（1）非负性: ，当且仅当 时取等号；
（2）对称性: ；
（3）三角形不等式: 对任意的实数z均成立.
今给出四个二元函数:① ；② ；③ ；
④ .能够成为关于的 、 的广义“距离”的函数的所有序号是（     ）

A．①

B．②

C．③

D．④

A

试题分析：①对于函数 ：满足非负性： ，当且仅当 时取等号；满足对称性： ；
∵ ，对任意的实数 均成立，因此满足三角形不等式： ．可知 能够成为关于的 、 的广义“距离”的函数．
② ，但是不仅 时取等号， 也成立，因此不满足新定义：关于的 、 的广义“距离”的函数；
③ ，若 成立，则 不一定成立，即不满足对称性；
④同理 不满足对称性．
综上可知：只有①满足新定义，能够成为关于的 、 的广义“距离”的函数．
故选A．