已知定义域为R的函数y=f（x）在[0，7]上只有1和3两个零点，且y=f（2-x）与y=（7+x）都是偶函数，则函数y=f（x）在[-2013，2013]上的零点个数为（）A．804B．805C．806D．807

Question

已知定义域为R的函数y=f（x）在[0，7]上只有1和3两个零点，且y=f（2-x）与y=（7+x）都是偶函数，则函数y=f（x）在[-2013，2013]上的零点个数为（　　）

A．804
B．805
C．806
D．807

Answer 1

∵y=f（2-x）与y=f（7+x）都是偶函数，
∴f（2-x）=f（2+x），f （7+x）=f（7-x），即f（x）关于x=2和x=7对称．
∵f（2-x）=f（2+x），∴f（4-x）=f（x）；
∵f（7-x）=f（7+x），∴f（4-x）=f（10+x），∴f（x）=f（10+x），
即10是函数f（x）的一个周期．
∵f（7-x）=f（7+x），函数f（x）在[4，7]上无根．∴函数f（x）在[7，10]上无根．
∴f（x）=0在[0，10]上恰有两根为1和3．
f（x）=0的根为10n+1或10n+3的形式．
∴0≤10n+1≤2013，解得0≤n≤201.2，共202个
∴0≤10n+3≤2013，解得0≤n≤201，共202个，
∴方程f（x）=0在闭区间[0，2013]上根的个数为404个，
同理可得，方程f（x）=0在区间[-2013，0）上根的个数为402个，
故方程f（x）=0在[-2013，2013]上的根的个数为806个，
故函数y=f（x）在[-2013，2013]上的零点个数为806个，
故选：C．