随机变量x的概率密度为fX（x）=12，−1＜x＜014，0≤x＜20，其他，令y=x2，F（x，y）为二维随机变量（X，Y）的分布函数．（1）求Y的概率密度fY（y）；（2）F（-12，4）．

Question

随机变量x的概率密度为f_X（x）=

(1)/(2)，−1＜x＜0

(1)/(4)，0≤x＜2

0，其他

，令y=x²，F（x，y）为二维随机变量（X，Y）的分布函数．
（1）求Y的概率密度f_Y（y）；
（2）F（-(1)/(2)，4）．

Answer 1

（I）设Y的分布函数为F_Y（y），即：FY(y)＝P(Y≤y)＝P(X2≤y)，
则：
1）当y＜0时，F_Y（y）=0，
2）当0≤y＜1时，FY(y)＝P(X2＜y)＝P(−√(y)＜X＜√(y))=

∫

0 −√(y)

(1)/(2)dx+

∫

√(y) 0

(1)/(4)dx＝(3)/(4)√(y)，
3）当1≤y＜4时，FY(y)＝P(X2＜y)＝P(−1＜X＜√(y))=

∫

0 −1

(1)/(2)dx+

∫

√(y) 0

(1)/(4)dx＝(1)/(4)√(y)+(1)/(2)，
4）当y≥4，F_Y（y）=1，
所以：fY(y)＝FY′(y)＝

(3)/(8√(y))，0＜y＜1

(1)/(8√(y))，1≤y≤4

0，其他

．

（II）
 F(−(1)/(2)，4)=P(X≤−(1)/(2)，Y≤4)＝P(X≤−(1)/(2)，X2≤4)
=P(X≤−(1)/(2)，−2≤X≤2)＝P(−2≤X≤−(1)/(2))=

∫	−(1)/(2) −1

(1)/(2)dx＝(1)/(4)．