定义区间（c，d），[c，d），（c，d]，[c，d]的长度均为d-c（d＞c）已知实数a＞b，则满足1x−a+1x−b≥1的x构成的区间的长度之和为（）A．1B．a−b2C．a+bD．2

Question

定义区间（c，d），[c，d），（c，d]，[c，d]的长度均为d-c（d＞c）已知实数a＞b，则满足(1)/(x−a)+(1)/(x−b)≥1的x构成的区间的长度之和为（　　）

A．1
B．(a−b)/(2)
C．a+b
D．2

Answer 1

∵(1)/(x−a)+(1)/(x−b)≥1，实数a＞b，∴(2x−(a+b))/((x−a)(x−b))≥1，
即 (x2−(2+a+b)x+ab+a+b)/((x−a)(x−b))≤ 0，
设 x²-（2+a+b）x+ab+a+b=0 的根为 x₁和x₂，则由求根公式可得，
x₁=(a+b+2−√((a−b)2+4))/(2)∈（b，a），
x₂=(a+b+2+√((a−b)2+4))/(2)＞a，
把不等式的根排在数轴上，用穿根法求得不等式的解集为（b，x₁）∪（a，x₂ ），
故解集构成的区间的长度之和为 （x₁-b）+（x₂-a ）
=（x₁+x₂ ）-a-b=（a+b+2）-a-b=2，
故选 D．