如图所示，一均匀薄板OA的长为L，质量为m，可绕O端在竖直平面内无摩擦转动，板正中间放一质量为m′的小球固定不动，一根细绳（质量不计）跨过滑轮（绳与滑轮摩擦不计），一端系于A点

Question

如图所示，一均匀薄板OA的长为L，质量为m，可绕O端在竖直平面内无摩擦转动，板正中间放一质量为m′的小球固定不动，一根细绳（质量不计）跨过滑轮（绳与滑轮摩擦不计），一端系于A点，另一端系在m′上，调整滑轮高度和绳子长度，使OA平衡时，板始终水平，且绳左端始终竖直，则绳子右端与水平方向成θ角．

（1）画出θ=30°时绳子拉力F的力臂l，并计算力臂的大小．
（2）推导绳子拉力F与角度θ的关系式．（提示：g为定值，最后结果用题中字母表示）

Answer 1

（1）过支点O作拉力F作用线的垂线段，即力臂l；如图所示：

已知OA长度为L，右端细绳与水平方向成30°角，所以力臂的大小l=(1)/(2)L；
（2）板正中间放一质量为m′的物体，故阻力臂L₂=(1)/(2)L；
以m′为研究对象，如图示，O为支点，画出各个力和力臂：

因为(L1)/(L)=sinθ，所以动力臂L₁=Lsinθ，
因定滑轮不省力，故绳对物体m′的拉力大小F等于动力F₁的大小，
阻力为总重力与拉力的合力，即F₂=G_总-F=（m+m′）g-F，
根据杠杆平衡条件F₁L₁=F₂L₂有：F×Lsinθ=[（m+m′）g-F]×(1)/(2)L，
解得F=((m+m′)g)/(2sinθ+1)．
答：（1）见上图；
（2）拉力F与角度θ的关系式F=((m+m′)g)/(2sinθ+1)．