对于一个三边长为p，q，r的三角形，其中p≤q≤r，称函数y=px2-rx+q为这个三角形的“派生函数”，或称这个函数是由这个三角形“派生”出的．（1）一个三角形的边长为3，4，5，请直接写出

Question

对于一个三边长为p，q，r的三角形，其中p≤q≤r，称函数y=px²-rx+q为这个三角形的“派生函数”，或称这个函数是由这个三角形“派生”出的．
（1）一个三角形的边长为3，4，5，请直接写出这个三角形的派生函数___．
（2）如图1，△ABC中，AB=AC，
①如图1，∠A>60°，则BC是△ABC的最长边，求证：△ABC的派生函数与x轴没有公共点；
②如图2，∠A<60°，则BC使△ABC的最短边，若△ABC的派生函数与x轴有公共点，求cosC的范围；
③如图3，∠A=60°，记△ABC的派生函数为C₁．：y=ax²-bx+c．C1的图象顶点为A，与y轴相交于B，直线AB交x轴于点C，C₂是三角形△BOC的派生函数，若C₂，C₁恰有一个公共点，请直接写出a的取值范围___．

Answer 1

（1） 根据“派生函数”的定义可知，三角形的边长为3，4，5，
这个三角形的派生函数为y=3x²-5x+4．
故答案为y=3x²-5x+4．

（2）①证明：如图1中，设AB=AC=m，BC=n，

∵∠A=60°，
∴m=mn，
∴△ABC的派生函数为y=mx²-nx+m，
∵△=n²-4m²=（n+2m）（n-2m），
∵n+2m>0，n-2m<0，
∴△<0，
∴△ABC的派生函数与x轴没有公共点．

② 如图2中，作AH⊥BC于H．设AB=AC=m，BC=n，n
∴△ABC的派生函数为y=nx²-mx+m，
∵△ABC的派生函数与x轴有公共点，
∴△≥0，
∴m²-4mn≥0，
∵m>0，
∴m≥4n，
∵AB=AC，AH⊥BC，
∴BH=HC=(1)/(2)n，
∴cosC=(HC)/(AC)=((1)/(2)n)/(m)=(n)/(2m)，
当m=4n时，cosC=(1)/(8)，
∴0<cosC≤(1)/(8)．

③如图3中，

∵∠A=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，设边长为a，
∴△ABC的派生函数C₁为y=ax²-ax+a，
∴点B（0，a），顶点A（(1)/(2)，(3)/(4)a），
∴直线AB的解析式为y=-(1)/(2)ax+a，
∴点C（2，0），
∴OB=a，OC=2，BC=√(4+a2)，
a、当0<a≤2时，△BOC的派生函数C₂为y=ax²-√(a2+4)x+2，
易知函数C₁与C₂恰有一个公共点，请直接写出a的取值范围，
b、当a>2时，△BOC的派生函数C₂为y=2x²-√(a2+4)x-a，
易知函数C₁与C₂有两个交点，不符合题意，
∴当C₁与C₂恰有一个公共点时a的取值范围：0<a≤2．
故答案为0<a≤2．