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已知动点,Q都在曲线C:(β为参数)上,对应参数分别为与(0<<2π),M为PQ的中点。(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为的函数,并判断M的轨迹

题目详情
已知动点 ,Q都在曲线C: (β为参数)上,对应参数分别为
(0< <2π),M为PQ的中点。
(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程
(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为 的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点。
▼优质解答
答案和解析
已知动点 ,Q都在曲线C: (β为参数)上,对应参数分别为
(0< <2π),M为PQ的中点。
(Ⅰ)求M的轨迹的参数方程
(Ⅱ)将M到坐标原点的距离d表示为 的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点。
(Ⅰ) ,( 为参数, )(Ⅱ)过坐标原点

(Ⅰ)由题意有, , ,
因此 ,
M的轨迹的参数方程为 ,( 为参数, ).
(Ⅱ)M点到坐标原点的距离为

时, ,故M的轨迹过坐标原点.
本题第(Ⅰ)问,由曲线C 的参数方程,可以写出其普通方程,从而得出点P的坐标,求出答案; 第(Ⅱ)问,由互化公式可得.对第(Ⅰ)问,极坐标与普通方程之间的互化,有一部分学生不熟练而出错;对第(2)问,不理解题意而出错.
【考点定位】本小题主要考查坐标系与参数方程的基础知识,熟练这部分的基础知识是解答好本类题目的关键.
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