为丰富农村业余文化生活，决定在A，B，N三个村子的中间地带建造文化中心．通过测量，发现三个村子分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B和以边AB的中心M为圆心，以MC长为半径的圆弧的中心N处

Question

为丰富农村业余文化生活，决定在A，B，N三个村子的中间地带建造文化中心．通过测量，发现三个村子分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B和以边AB的中心M为圆心，以MC长为半径的圆弧的中心N处，且AB=8km，BC=4√(2)km．经协商，文化服务中心拟建在与A，B等距离的O处，并建造三条道路AO，BO，NO与各村通达．若道路建设成本AO，BO段为每公里√(2)a万元，NO段为每公里a万元，建设总费用为w万元．
（1）若三条道路建设的费用相同，求该文化中心离N村的距离；
（2）若建设总费用最少，求该文化中心离N村的距离．

Answer 1

（1）不妨设∠AOB=θ，依题意得θ∈[0，(π)/(3)]，
且MC＝4√(3)，由AO＝BO＝4√(3)＝(4)/(cosθ)，NO＝4√(3)−4tanθ，
若三条道路建设的费用相同，则(4)/(cosθ)×√(2)a＝(4√(3)−4tanθ)a
所以sin((π)/(3)−θ)＝(√(2))/(2)，所以θ＝(π)/(12)．
由二倍角的正切公式得，tanθ＝tan(π)/(12)＝2−√(3)
即NO＝8

作业帮用户 2017-09-27

问题解析

（1）设∠AOB=θ，三条道路建设的费用相同，则(4)/(cosθ)×√(2)a＝(4√(3)−4tanθ)a，利用三角变换求解．
（2）总费用ω＝2×(4√(2)a)/(cosθ)+a(4√(3)−4tanθ)，θ∈[0，(π)/(3)]，即ω＝(8√(2)−4sinθ)/(cosθ)a+4√(3)a，求导判断极值点，令ω′＝(8√(2)sinθ−4)/(cos2θ)a＝0，得sinθ＝(√(2))/(4)，再转换为三角变换求值解决．

名师点评

本题考点：

函数模型的选择与应用．

考点点评：

本题综合考查了函数的性质在实际问题中的应用，转换为三角函数最值求解．

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议