已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱，（1）求此圆柱的侧面积表达式；（2）x为何值时，圆柱的侧面积最大？

Question

已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱，

（1）求此圆柱的侧面积表达式；
（2）x为何值时，圆柱的侧面积最大？

Answer 1

（1）过圆锥及内接的圆柱的轴作截面，如图：
因为(r)/(R)＝(H−x)/(H)，所以r＝R−(R)/(H)x，
从而S圆柱侧面＝2πrx＝2πRx−(2πR)/(H)x2．
（2）由（1）S圆柱侧面＝2πRx−(2πR)/(H)x2
因为−(2πR)/(H)＜0，
所以当x＝−(b)/(2a)＝(2πR)/((4πR)/(H))＝(H)/(2)时，S_侧最大，
从而当x＝(H)/(2)，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大．