按条件求平面、直线方程!（1）求平面方程：过点（1,2,1）且同时垂直与平面x+y-2z+1=0和2x-y+z=0；（2）求直线方程：过点（0,2,4）且与两平面x+y+z-1=0和y-3z=2平行.

Question

按条件求平面、直线方程!
（1）求平面方程：过点（1,2,1）且同时垂直与平面x+y-2z+1=0和2x-y+z=0；
（2）求直线方程：过点（0,2,4）且与两平面x+y+z-1=0和y-3z=2平行.

Answer 1

1、设所求平面法向量为n,则该向量同时垂直已知二平面的法向量,
设平面1法向量n1=(1,1,-2),
平面2法向量n2=(2,-1,1),
n=n1×n2,
| i j k|
n= | 1 1 -2|
| 2 -1 1|
=-i-5j-3k,
∴ n=(-1,-5,-3),
故平面方程为：（-1）*（x-1)+(-5)*(y-2)+(-3)*(z-1)=0,
即x+5y+3z-14=0.
2、 设直线方向向量为n,则该向量与二平面法向量同时垂直,
设平面1法向量n1=(1,1,1),
平面2法向量n2=(0,1,-3),
n=n1×n2
| i j k|
n= | 1 1 1|
| 0 1 -3|
=-4i+3j+k
∴n=(-4,3,1)
则直线方程为：x/(-4)=(y-2)/3=(z-4)/1.