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已知o为三角形ABC的外心,h为三角形ABC所在平面内一点,满足向量OH=向量OA+向量OB+向量OC求证:点H是三角形ABC的垂心.快的可以追加喔,
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已知o为三角形ABC的外心,h为三角形ABC所在平面内一点,满足向量OH=向量OA+向量OB+向量OC
求证:点H是三角形ABC的垂心.
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▼优质解答
答案和解析
如果 O 是三角形ABC的外接圆圆心,那么 ,H 为三角形的垂心,则 OH=OA+OB+OC ;反之,若 OH=OA+OB+OC ,则 H 为三角形ABC的垂心 .
证明:因为 O 是三角形ABC的外心,则 |OA|=|OB|=|OC| ,
因为 (OB+OC)*(OB-OC)=|OB|^2-|OC|^2=0 ,
所以 (OH-OA)*(OB-OC)=0 ,
即 AH*CB=0 ,所以 AH丄CB .
同理 BH丄AC ,因此 H 为三角形的垂心 .(三条高的交点)
证明:因为 O 是三角形ABC的外心,则 |OA|=|OB|=|OC| ,
因为 (OB+OC)*(OB-OC)=|OB|^2-|OC|^2=0 ,
所以 (OH-OA)*(OB-OC)=0 ,
即 AH*CB=0 ,所以 AH丄CB .
同理 BH丄AC ,因此 H 为三角形的垂心 .(三条高的交点)
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